1)  log₃20    2)  625    3)  12 log₃5    4)  20

1) 1     2) ¹/₃     3) 9     4) 27

1) (− ∞;+ ∞)
2) (0;+ ∞)
3) (1,5;+ ∞)
4) (1,5;− ∞)

1) ^π/₄ + π n, n є Z
2) π n, n є Z
3) ^πn/₂, n є Z
4) ^π/₄ + ^πn/₂, n є Z

1) (− ∞; 7)
2) (− ∞; 4)
3) (− 3; 4)
4) (− 3; 7)

1) (0,5; + ∞)
2) (– ∞; 0,5]
3) [0,5; + ∞)
4) [2; + ∞)

log₂sin^π/₁₂ + log₂sin^π/₆ + log₂sin^5π/₁₂.

№ задания	Ответ	№ задания	Ответ
А1	4	А6	1
А2	4	А7	2
А3	1	А8	3
А4	1	А9	4
А5	2	А10	3

№ задания	Ответ
C1	2
C2	± 0,5
C3	( -∞; -9) [7/9; +∞ )
C4	1/√6
C5	- 1

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С1
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения функции и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдено наибольшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С2
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) уравнение сведено к равносильной ему системе, состоящей из уравнения и двух неравенств; 2) решена полученная система. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

Решение:
1) Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие
x⁴ - 4x² - 2 ≠ ax² <=> f(t) ≠ 0, где t = x² и f(t) = t² - (a + 8)t −2. Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t) = 0 не имело корней на промежутке [( -1)²; ( -3)²)) = [ 1; 9).
2) График функции y = f(t) (относительно переменной t Є R) есть парабола, изображенная на рисунке: ее ветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как f(0) = -2). Поэтому квадратный трехчлен f(t) имеет два корня и . Если t₁< 0 и t₂>0, то f(t) < 0, а если t > t₂, то f(t) >0, поэтому уравнение f(t) = 0 имеет корень на промежутке [1; 9) тогда и только тогда, когда
3) Решим полученную систему:
Итак, уравнение f(t) = 0 не имеет корней на промежутке [1; 9) для всех остальных значений , т. е. тогда и только тогда, когда a < -9 или a ≥⁷/₉.
Ответ: , a < −9, a ≥ ⁷/₉.
Замечание: в работах выпускников в шаге 2) могут отсутствовать словесные описания, а корни квадратного трехчлена f(t) могут быть вычислены.

необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение
f(t) = 0 имело корень на соответствующем промежутке;
3) полученные неравенства решены и найдены оба множества,
составляющие искомое множество значений параметра a.
Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С3
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к исследованию корней квадратного уравнения f(t) = 0 на соответствующем промежутке; 2) показано (возможно, только с помощью рисунка), что квадратный трехчлен ()ft имеет два корня разного знака, и получены два условия на параметр , система которых
3	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допускается, что не показано (ни словесно, ни с помощью рисунка), что квадратный трехчлен ()ft имеет два корня разного знака. В шаге 2, возможно, содержатся неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенных в шаге 2 неточностей.
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 2 получены неравенства на параметр а, система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение f(t) = 0 имело корень на соответствующем промежутке. Возможно, что при этом допущены неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). В шаге 3 найдено (возможно, неверно из-за допущенных в шаге 2 неточностей: либо множество значений параметра а, при которых квадратное уравнение ()0ft= имеет корень на соответствующем промежутке, либо хотя бы одно из двух множеств, составляющих искомое множество значений параметра а.
1	Приведены шаги 1 и 2 решения, а шаг 3 отсутствует, содержит ошибки или не доведен до конца. В шаге 2 получено хотя бы одно из неравенств на параметр а, необходимое для того, чтобы квадратное уравнение f(t) = 0 имело корень на соответствующем промежутке, при этом в нем, возможно, строгое (нестрогое) неравенство заменено нестрогим (строгим).
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

Решение:

1) Пусть – центр сферы, а R – ее радиус. Тогда как диаметр сферы. Поскольку точки M и L лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем ∟PMN = ∟PLN = 90º как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.
2) Пусть H – высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то H ≤ R, причем H = R, если MO ┴ PNL. Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, то h ≤ R, причем h = R, если LO ┴ PN. Отсюда для объема пирамиды PNML имеем
V_PNML = ¹/₃S_PNL∙H = ¹/₃∙¹/₂∙PN∙h∙H ≤ ¹/₆∙2R∙R∙R = ^R3/₃ . При этом V_PNML=^R3/₃, только если H = h = R. Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.
3) Поскольку MO ┴ PLN, то MO ┴ OL. Но PN ┴ OL и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости PMN ┴ OL. Пусть K – середина МО. Проведем KТ – среднюю линию треугольника OLM. Тогда KT ║ OL. Значит, KT ┴ PMN и поэтому KN – проекция NT на плоскость PMN и ∟TNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть ∟TNK = α.
4) По свойству средней линии KT = 0,5OL = 0,5R. Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL – правильный со стороной LN = ON√2 = R√2. NT – высота треугольника MNL, значит, NT =^NL√3/₂. Отсюда sinα = ^KT/_NT = ^R/2/_R√6/2 = ¹/_√6.

Ответ: ¹/_√6.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С4
4	Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что треугольники PLN и PMN – прямоугольные; 2) установлено, что в пирамиде PMNL, имеющей наибольший объем и вписанной в данную сферу, треугольники PLN и PMN – равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях; 3) построен угол между прямой NT и плоскостью PMN; 4) вычислен синус угла между прямой NT и плоскостью PMN. Обоснованы ключевые моменты решения: а) вид пирамиды, имеющей наибольший объем, вписанной в данную сферу; б) построение угла между прямой NT и плоскостью PMN. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
3	Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения: явно описан вид искомой пирамиды и построен искомый угол. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях1, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.
2	Приведены шаги решения 2) – 4). Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты а) и б) решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Получена искомая величина синуса угла между прямой NT и плоскостью PMN. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
1	Ход решения правильный, но решение не завершено: имеется шаг 2) решения, который описан словесно или ясно отражен и виден на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 90º, и равные стороны). Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Решение:
1) Так как , то f'(x) = (,05x⁴ - 4x + 5)' = 2x³ -4, то x = ³√2 единственная критическая точка. Если x = ³√2, то f'(x) < 0, а если ³√2, то f'(x) > 0. Значит, ³√2 - точка минимума. Поэтому f_наим = f(³√2) = 5 - 3·³√2.

2) Так как 5 - 3·3√2 > 1 <=> 4 > 3·3√2 <=> 64 > 27·2, то f_наим > 1. Значит, 3 + f(x) > 4 для всех x и поэтому g(3 + f(x)) = 25 для всех x.
Получаем уравнение

Так как для всех g(x) > 0, то уравнение g(x) = 0 корней не имеет.
3) Решим уравнение g(x) = 2. Если x ≥ 4, то g(x) = 25 и корней нет. Если x < 4, то g(x) = 2^x + ⁹/_{5 - x}. Так как g'(x) = (2^x + ⁹/_{5 - x}) = 2^x ln2 + ⁹/_{(5 - x)2} > 0, то на промежутке ( -; 4) функция g возрастает. Значит, уравнение g(x) = 2 имеет не более одного корня, а один корень находится и проверяется подстановкой: если x= -1;, то 2^x + ⁹/_{5 - x} = 0,5 + 1,5 = 2.

Ответ: -1.
Замечание.
1) В шаге 1) можно обойтись и без производной: 0,5x⁴ - 4x + 5 > 1 <=>
<=> x⁴ - 8x + 8 > 0 <=> x⁴ - 4x² + 4 + 4x² - 8x + 4 > 0 <=> (x² - 2²) + 4(x - 1)² > 0, где последнее неравенство верно, так как (x² - 2²) и 4(x - 1)² и не обращаются в ноль одновременно.
2) Аналогично, в шаге 3) проверку неравенства можно заменить ссылкой на то, что g(x) есть сумма двух возрастающих функций.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С5
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) исследование функции f; 2) сведение исходной задачи к уравнению f(g(x)) = 5, его решение; проверка того, что уравнение ()0gx= не имеет корней; 3) решение уравнения g(x) = 2. Обоснованы все моменты решения: а) нахождение fнаим обосновано исследованием знака производной; б) неравенство fнаим > 1 обосновано проверкой неравенства 5 - 3·3√2 > 1; в) отсутствие корней уравнения g(x) = 0 обосновано положительностью функции g; г) единственность корня x = -1; обоснована проверкой возрастания функции g при x < 4. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
3	Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3) допустима лишь констатация возрастания без ее проверки. Обоснованы ключевые моменты а), б). g Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в одном из шагов 2) или 3), в результате чего может быть получен неверный ответ.
2	Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены верно шаги 1) и 2): задача сведена к решению уравнения . Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что неравенство 5 - 3·3√2 > 1 приведено без проверки. Допустимо, что дальнейшее исследование уравнения не завершено. Допустимы 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате решение может быть не завершено.
1	Ход решения верный. Выполнен верно шаг 1): найдена точка минимума и наименьшее значение функции f. Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а остальные ключевые моменты не обоснованы.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Сайт программы	http://www.dessci.com/en/
Прямая ссылка (30 дней бесплатно)	http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe